Nació el 24 de enero de 1987 en Salto. Su padre, Rodolfo Suárez, exlateral derecho en el Deportivo Artigas de Salto y en la selección departamental, trabajó como portero de edificio, y su madre, Sandra Díaz, tras separarse, se mudó a Montevideo con sus hijos Luis (6), Diego (11), Maxi (15), Leticia (19), Giovana (21) y Paolo (23), y trabajó como niñera frente al Club Biguá de Villa Biarritz.

Debutó en Nacional el 3 de mayo de 2005, frente al Junior de Barranquilla por la Copa Libertadores. Con 19 años se le traspasó en el verano de 2006 al Groningen de Holanda por 800.000 euros. En el año 2007 lo fichó el Ajax de Ámsterdam. Su carácter y capacidad goleadora lo llevaron, tras dos años, a ser capitán del club a partir de la temporada 2009/10, siendo el primer futbolista sudamericano en lograrlo. Fue el mayor goleador de la Eredivisie, con 35 tantos en 33 partidos. En 2011 pasó al Liverpool Football Club por 26.5 millones de euros, tras triunfar con el equipo holandés ganado una Eredivisie, una Copa de los Países Bajos y una Supercopa de los Países Bajos. En 2012 logró la Copa de la Liga de Inglaterra y en la temporada 2012/13 fue nombrado el segundo mejor jugador de la competición. Su versatilidad le permite jugar en la posición de ‘9’ pero también escorado a cualquiera de las dos bandas.

El 25 de noviembre marcó su primer gol en la victoria 0-4 frente al APOEL F. C. en la Liga de Campeones, y en la Primera División española, marcó el 20 de diciembre de 2014 frente al Córdoba C.F., en la victoria de su equipo por 5 a 0 en el Camp Nou, logrando el segundo gol del partido.El 6 de junio de 2015 logró la copa de Europa tras vencer a la Juventus en Berlín. El Barcelona obtuvo tres trofeos en esta temporada. La Liga BBVA, la Copa del Rey y la Champions League, en este orden.